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（1）求（1+x+x²+x³）（1-x）⁷的展開式中x⁴的系數；
（2）求（x+

-4）⁴的展開式中的常數項；
（3）求（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰的展開式中x³的系數．

分析：（1）由等比數列的前n項和公式，可將原式化為（1-x⁴）（1-x）⁶，進而分析x⁴取得的情況，計算可得答案，
（2）對（x+

-4）⁴變形可得

(2-x)8

，分析可得，要在展開式中取得常數項，則必須在（2-x）⁸中取得x⁴項，進而由二項式定理，計算可得答案；
（3）根據題意，原式可變形為

(1+x)51-(1+x)3

，要在展開式中取得x³項，必須在（1+x）⁵¹取得x⁴項，進而由二項式定理，計算可得答案．

解答：解：（1）原式=

1-x4

1-x

（1-x）⁷=（1-x⁴）（1-x）⁶，
展開式中x⁴的有兩種情況，在（1-x⁴）中取（-x⁴），在（1-x）⁶中取1，或在（1-x⁴）中取（1），在（1-x）⁶中取x²，
其系數為（-1）⁴C₆⁴-1=14．
（2）（x+

-4）⁴=

(x2-4x+4)4

(2-x)8

，
要在展開式中取得常數項，則必須在（2-x）⁸中取得x⁴項，
故其原式的展開式中常數項為C₈⁴2⁴•（-1）4=1120．
（3）原式=

(1+x)3[(1+x)48-1]

(1+x)-1

(1+x)51-(1+x)3

；
要在展開式中取得x³項，必須在（1+x）⁵¹取得x⁴項，
故其原式的展開式中x³的系數為C₅₁⁴．

點評：把所給式子轉化為二項展開式形式是解決此類問題的關鍵．

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設h(x)=x+

，x∈[

，5]，其中m是不等于零的常數，
（1）（理）寫出h（4x）的定義域；
（文）m=1時，直接寫出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的單調遞增區間；
（3）已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函數f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，則f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）當m=1時，設M(x)=

h(x)+h(4x)

|h(x)-h(4x)|

，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范圍；
（文）當m=1時，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式2^1-x+a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍．
解：令f（x）=2^1-x+a，因為f（x）＞0在A上有解．

⇒f(x)在A上的最大值大于0，

又∵f(x)在[0，1]上單調遞減

⇒f(x)最大值=f(0)
=2+a＞0⇒a＞-2
學習以上問題的解法，解決下面的問題，已知：函數f（x）=x²+2x+3（-2≤x≤-1）．
①求f（x）的反函數f^-1（x）及反函數的定義域A；
②設B={x|lg

10-x

10+x

＞lg(2x+a-5)}，若A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=mx+n的圖象經過點A（1，2），B（-1，0），且函數h(x)=2p

（p＞0）與函數f（x）=mx+n的圖象只有一個交點．
（1）求函數f（x）與h（x）的解析式；
（2）設函數F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的最小值與單調區間；
（3）設a∈R，解關于x的方程log₄[f（x-1）-1]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設g（x）=2x+

，x∈[

，4]．
（1）求g（x）的單調區間；（簡單說明理由，不必嚴格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（

）；
（3）設已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-

，

]，則f₁（x）=-1，x∈[-

，

]，f₂（x）=sinx，x∈[-

，

]，設φ（x）=

g(x)+g(2x)

|g(x)-g(2x)|

，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河南省周口市鹿邑三中高一（下）第三次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知：函數