Question

已知函數f（x）=mx+n的圖象經過點A（1，2），B（-1，0），且函數h(x)=2p

x

（p＞0）與函數f（x）=mx+n的圖象只有一個交點．
（1）求函數f（x）與h（x）的解析式；
（2）設函數F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的最小值與單調區間；
（3）設a∈R，解關于x的方程log₄[f（x-1）-1]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）．

Answer 1

分析：（1）將點A（1，2），B（-1，0），坐標代入f（x）=mx+n可得函數f（x）的解析式，進而聯立方程后根據函數h(x)=2p

x

（p＞0）與函數f（x）=mx+n的圖象只有一個交點，根據二次方程根的個數與△的關系求出p值，得到h（x）的解析式；
（2）由（1）求出函數F（x）=f（x）-h（x）的解析式，結合二次函數的圖象和性質可得F（x）的最小值與單調區間；
（3）原方程可化為：log₂（

4-x

•

x-1

）=log₂

a-x

，即

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

，根據二次函數的圖象和性質分類討論后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）=mx+n的圖象經過點A（1，2），B（-1，0），
∴

m+n=2 -m+n=0

解得：m=n=1
∴f（x）=x+1
由函數h(x)=2p

x

（p＞0）與函數f（x）=x+1的圖象只有一個交點．
可得x-2p

x

+1=0有且只有一個解
即△=4p²-4=0，
又∵p＞0
∴p=1
∴h(x)=2

x

（2）由（1）得F（x）=f（x）-h（x）=x-2

x

+1=（

x

-1）²，
當

x

=1，即x=1時，F（x）_min=0．         …（6分）
F（x）在[0，1]為減函數，在[1，+∞）為增函數．   …（8分）
（3）原方程可化為：log₄（x-1）=log₂

a-x

-log₂

4-x

即

1

2

log₂（x-1）=log₂

a-x

-log₂

4-x

即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂（

4-x

•

x-1

）=log₂

a-x

即

x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 a-x=(x-1)(4-x)

即

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

…（10分）
令y═-（x-3）²+5

由上圖可知：
①當1＜a≤4時，原方程有一解：x=3-

5-a

②當4＜a＜5時，原方程有兩解：x=3-

5-a

，x=3+

5-a

，
③當a=5時，原方程有一解：x=3
④當a≤1或a＞5時，原方程無解

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，是函數圖象和性質的綜合應用，難度較大，屬于難題．