Question

如圖，圓O為單位圓，A（1，0），，，，E（0，1），為圓O上的定點，點M為圓O上的動點．M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為α；M第二次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為β．
（Ⅰ） 當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C，第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在兩個點，能使角α，β同時滿足，且．若不存在，說明理由； 若存在，找出定點并證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C時，所形成的角為α=，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，所形成的角為β=，
則cos（α-β）=cos
=cos（-）=coscos+sinsin=；
（Ⅱ）存在，當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時，角α=，β=，滿足題意，
理由如下：
由，得到+β=，
∵，
∴tan（+β）===-1，
∴tan+tanβ=2-2，
∴tan=-，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=-，
當=，β=，不滿足題意；
當=，即α=，β=時，滿足題意，
則M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時滿足題意．
分析：（Ⅰ）根據C的坐標及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，即為α的度數；同理根據D的坐標，及第二次由點A按逆時針方向運動到某定點D，得到β的度數，代入cos（α-β），把角變形為-，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值即可求出值；
（Ⅱ）存在兩點B和F，滿足題意，理由為：由已知的α+2β的度數求出的度數，然后利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡tan（），把的值及的度數代入，求出的值，兩者聯立分別求出的值，根據特殊角的三角函數值即可得到α，β的度數，進而找出對應的點．
點評：此題考查了三角函數恒等式的證明，涉及的知識有兩角和與差的正切、余弦函數公式，點與坐標系，銳角三角函數定義，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．