Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）求證：曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)定點(diǎn)；

（2）若是在區(qū)間上的極大值，但不是最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得在上為單調(diào)函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程,切線恒過(guò)定點(diǎn)即與參數(shù)無(wú)關(guān),令系數(shù)為,可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）,要使成為極大值,因此,又不是最大值,而在單增,單減,單增,因此,可求得的范圍；（3）在單增,單減,單增,又,所以要使在單調(diào),只需,即,故存在.

試題解析：解：（1）證明：∵，∴

∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即，令，則，

故曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)定點(diǎn)

（2）解： ，

令得或

∵是在區(qū)間上的極大值，∴，∴

令，得或遞增；令，得遞減，

∵不是在區(qū)間上的最大值，

∴在區(qū)間上的最大值為，

∴，∴，又，∴

（3）證明： ，

∵，∴

令，得或遞增；令，得遞減，

∵，∴

若在上為單調(diào)函數(shù)，則，即

故對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在（其中），使得在上為單調(diào)函數(shù)