Question

已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數，它們在第一象限交點的坐標為，設直線（其中為整數）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓為： ，雙曲線為：（2）存在，滿足條件的直線共有9條.

試題分析：（1）將點代入即可求出橢圓的方程，通過橢圓的離心率求出雙曲線的離心率，聯立離心率和雙曲線的方程，求出；（2）因為直線與橢圓交于不同兩點，所以聯立直線和橢圓方程，消去，整理方程即可.
試題解析：（1）將點代入解得
∴橢圓為： ，                                       （2分）
橢圓的離心率為∴雙曲線的離心率為，              （3分）
∴，
∴雙曲線為：                                        （6分）
（2）由消去化簡整理得：
設，，則
     ①                     （8分）
由消去化簡整理得：
設，，則
     ②                     （10分）
因為，所以，
由得：．
所以或．由上式解得或．
當時，由①和②得．因是整數，
所以的值為
當，由①和②得．因是整數，所以．
于是滿足條件的直線共有9條．                                  （13分）