Question

已知：函數f(x)=

3

sin2

ωx

2

+sin

ωx

2

cos

ωx

2

（ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將已知函數化簡為y=Asin（ωx+φ）型函數，再利用三角函數的周期計算公式計算ω即可；
（II）將內層函數置于外層函數的單調增區間上，解不等式即可得此復合函數的單調增區間

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

(1-cosωx)+

1

2

sinωx=

3

2

-

3

2

cosωx+

1

2

sinωx=-sin

π

3

cosωx+

1

2

sinωx+

3

2

=sin(ωx-

π

3

)+

3

2

∴f(x)=sin(ωx-

π

3

)+

3

2

因為函數的周期為π
所以ω=

2π

π

=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知　　f(x)=sin(2x-

π

3

)+

3

2

由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

(k∈Z)
所以函數f（x）的單增區間為[kπ-

π

12

， kπ+

5π

12

]，其中k∈Z

點評：本題主要考查了二倍角公式、兩角差的正弦公式的應用，y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，三角復合函數單調區間的求法，整體代入的思想方法