Question

【題目】已知橢圓:的左、右點分別為點在橢圓上，且

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(1,0)作斜率為的直線交橢圓于M、N兩點，若求直線的方程；

(3)點P、Q為橢圓上的兩個動點，為坐標原點，若直線的斜率之積為求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5

【解析】

（1）由點在橢圓上，且，列出方程組求出，，由此能求出橢圓的方程．

(2) 設直線l的方程為，設，，，，聯立直線和橢圓的方程得到韋達定理，再利用數量積和韋達定理求出k的值，即得直線方程；

（3）設直線，聯立，求出，同理求出，證明為定值．

(1）橢圓的左右焦點分別為，，

點在橢圓上，且，

，解得，，

橢圓的方程為．

（2）設直線l的方程為，

設，，，，

由，得，

所以，

又，，，

所以，

所以，

所以，均滿足題意.

所以直線的方程為或.

（3）設直線，

聯立方程組，得，

，

又直線，

同理，得，

，為定值．