Question

【題目】記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令

（Ⅰ）若，請寫出的值；

（Ⅱ）求證:“數列是等差數列”是“數列是等差數列”的充要條件；

（Ⅲ）若 ，求證:存在，使得，有

Answer 1

【答案】（1），，，； （2）見解析； (3)見解析.

【解析】

（Ⅰ）分別計算出，，，結合題意即可得的值；（Ⅱ）先證必要性，無論為何值始終有，即可證得結果，再證充分性，當數列是等差數列時，設其公差為，根據等差數列的定義化簡可得，進而可證得是單調數列，始終可得，進而得最后結論；（Ⅲ）利用反證法，由或者可得，，化簡可得，即，對利用累加法，可得與題意矛盾，即得結論.

（Ⅰ）因為，所以，，，

所以，，，

（Ⅱ）（必要性）當數列是等差數列時，設其公差為d

當時，，所以，所以，，

當，，所以，所以，

當是，，所以，所以，

綜上，總有

所以 ，所以數列是等差數列

（充分性）當數列是等差數列時，設其公差為

因為，

根據，的定義，有以下結論：

，，且兩個不等式中至少有個取等號

當，則必有，所以，

所以是一個單調遞增數列，所以，，

所以

所以，即為等差數列

當時，則必有，所以

所以是一個單調遞減數列，所以，，

所以

所以，即為等差數列

當，

因為，中必有一個為0，

根據上式，一個為0，則另一個亦為0，

所以，，所以為常數數列，所以為等差數列

綜上，結論得證.

（Ⅲ）假設結論不成立.

因為，即或者，

所以對任意，一定存在，使得，符號相反

所以在數列中存在，，，……，，……，其中

且 ，

，

因為，即，

注意，，且有且僅有一個等號成立，

所以必有 ，

所以，所以

因為，所以，所以

所以

所以

所以

……

所以

所以

所以，

這與矛盾，所以假設錯誤，

所以存在，使得，有.