Question

【題目】某校高二理科8班共有50名學生參加學業水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優秀，其中語文成績近似服從正態分布，數學成績的頻率分布直方圖如圖.

（I）這50名學生中本次考試語文、數學成績優秀的大約各有多少人？

（Ⅱ）如果語文和數學兩科成績都優秀的共有4人，從語文優秀或數學優秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優秀的有人，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）根據（I）（Ⅱ）的數據，是否有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀？

附：①若~，則，；

②；

③

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 語文成績優秀的同學有8人，數學成績優秀的同學有10人. (Ⅱ)見解析.( Ⅲ) 沒有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀.

【解析】

（I）語文成績服從正態分布，根據正態分布的 原則可得語文成績優秀的概率及人數；根據數學成績的頻率分布直方圖可以計算數學成績優秀的概率及人數；（Ⅱ）語文和數學兩科成績都優秀的共有4人，則語文單科優秀的4人，數學單科優秀的6人，即單科優秀的共10人，隨機抽取3人，3人中兩科都優秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出每種情況的概率，即可寫出X的分布列及數學期望；（Ⅲ）先填寫列聯表，利用公式求出 的值比較它與6.635的大小即可。

（Ⅰ）∵語文成績服從正態分布，

∴語文成績優秀的概率為，

數學成績優秀的概率為，

∴語文成績優秀的同學有人，

數學成績優秀的同學有人.

（Ⅱ）語文數學兩科都優秀的有4人，單科優秀的有10人，

的所有可能取值為0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列為：

.

（Ⅲ）列聯表：

∴.

∴沒有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀.