Question

【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形，底面，，，，分別為，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）證明平面，可證與平面內的直線平行，則取的中點，連接，即可。

（Ⅱ）證明平面平面，可證平面，又因為平面，所以平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，則（或其補角）是異面直線與所成的角．在中，分別求出，，，通過余弦定理可求得與所成角的余弦值。

（Ⅰ）取的中點，連接，，

∵，，，，

∴，．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

又平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）在菱形中，

∵， ∴，∴是等邊三角形．

∴．∴．

又平面， ∴．

又 ,∴平面．

∴平面

∴平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，

則（或其補角）是異面直線與所成的角．

在中，∵，，，

∴．

∴異面直線與所成角的余弦值為．