【題目】（本小題滿分16分）在平面直角坐標系
中，已知橢圓
： 
的離心率
，直線
過橢圓
的右焦點
，且交橢圓
于
， 
兩點．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
，連結
，過點
作垂直于
軸的直線
，設直線
與直線
交于點
，試探索當
變化時，是否存在一條定直線
，使得點
恒在直線
上？若存在，請求出直線
的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）點
恒在直線
上
【解析】試題分析：（1）直線
與x軸的交點為橢圓
的右焦點
，所以
由
得
從而
，所以橢圓
的標準方程為
．（2）探索性問題，先通過特殊情形探索目標：令
，則根據對稱性知滿足題意的定直線
只能是
．問題轉化為證明P,B,D三點共線，可利用斜率相等進行證明：設
， 
，則
，從而
，再利用直線與橢圓方程聯立方程組得關于y的一元二次方程，由韋達定理得
與
關系，進而得
試題解析：（1）由題設，得
解得
從而
，
所以橢圓
的標準方程為
． 4分
（2）令
，則
， 
或者
， 
．
當
， 
時， 
；當
， 
時， 
，
所以，滿足題意的定直線
只能是
． 6分
下面證明點
恒在直線
上．
設
， 
，由于
垂直于
軸，所以點
的縱坐標為
，從而只要證明
在直線
上． 8分
由
得
，
，
， 
．① 10分
∵
， 13分
①式代入上式，得
， 所以
． 15分
∴點
恒在直線
上，從而直線
、直線
與直線
三線恒過同一點
， 所以存在一條定直線
： 
使得點
恒在直線
上． 16分
口算題天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為橢圓
上的一個動點，弦
分別過左右焦點
，且當線段
的中點在
軸上時， 
．
（1）求該橢圓的離心率；（2）設
，試判斷
是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=lnax﹣ 
（a≠0）．
（1）求此函數的單調區間及最值；
（2）求證：對于任意正整數n，均有1+ 
+ 
…+ 
≥ln 
（e為自然對數的底數）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分為16分）設A，B分別為橢圓
的左、右頂點，橢圓的長軸長為
，且點
在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
為直線
上不同于點
的任意一點，若直線
與橢圓相交于異于
的點
，證明：△
為鈍角三角形．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側， 
=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分10分）設
個正數
滿足
（
且
）．
（1）當
時，證明：
；
（2）當
時，不等式
也成立，請你將其推廣到（且）個正數的情形，歸納出一般性的結論并用數學歸納法證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點． 
（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（3）當二面角B﹣PC﹣D的大小為 
時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠利用隨機數表對生產的700個零件進行抽樣測試，先將700個零件進行編號001，002，…，699，700．從中抽取70個樣本，如圖提供隨機數表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數據，則得到的第5個樣本編號是（ ） 
A.607
B.328
C.253
D.007
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