Question

【題目】已知為橢圓上的一個動點，弦分別過左右焦點，且當線段的中點在軸上時， ．

（1）求該橢圓的離心率；（2）設，試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值6．

【解析】試題分析：（1）當線段的中點在y軸上時,AC垂直于x軸, 為直角三角形.運用余弦函數的定義可得,易知,再由橢圓的定義,結合離心率公式即可得到所求值;
(2)由(1)得橢圓方程為,焦點坐標為,當AB,AC的斜率都存在時,設,求得直線AC的方程,代入橢圓方程,運用韋達定理,再由向量共線定理,可得為定值6;若軸,若軸,計算即可得到所求定值.

試題解析：

解：（1）當線段的中點在軸上時， 垂直于軸， 為直角三角形，

因為，所以，

易知，

由橢圓的定義可得，

則，即；即，即有；

（2）由（1）得橢圓方程為，焦點坐標為，

①當的斜率都存在時，設，

則直線的方程為，代入橢圓方程得：

，

可得，又，

同理，可得；

（2）若軸，則， ，這時；

若軸，則，這時也有；

綜上所述， 是定值6．