【題目】已知函數
.
（1）當
時，求證：
；
（2）若不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）構造新函數，利用導數研究新函數的單調性，根據新函數的最值即可證得結論；
（2）對函數
求導，分情況求
的取值范圍.
（1）當
時，
.
所以
.
設
，則
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
，
所以
.
（2）因為
，
所以
，在
上，
①當
，
，若
，則
，若
，則
，
所以在
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以由題意得
，解得
，
所以
.
②當
時，
，若，則，若，則，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以
，
所以由題意得
，解得
，所以
.
③當
時，
（i）當
時，
，若，則，若
，則，若
，則，
所以函數在上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以由題意得
所以
所以；
（ii）當
時，在
上
恒成立，所以在
上單調遞增，
所以
，所以滿足題意；
（iii）當
時，
，
易得函數在
，
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以由題意得
所以
所以.
綜上，實數的取值范圍為.
挑戰100單元檢測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】斜率為
的直線
過拋物線
的焦點
，且與拋物線
交于
、
兩點.
（1）設點在第一象限，過作拋物線的準線的垂線，
為垂足，且
，直線
與直線關于直線
對稱，求直線的方程；
（2）過且與垂直的直線
與圓
交于
、
兩點，若
與
面積之和為
，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
： 
上， 
是橢圓的一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）橢圓C上不與
點重合的兩點
， 
關于原點O對稱，直線
， 
分別交
軸于
， 
兩點．求證：以
為直徑的圓被直線
截得的弦長是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】極坐標系中橢圓C的方程為
，以極點為原點，極軸為
軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度．
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程，若橢圓上任一點坐標為
，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦
，
交于點
，且直線與的傾斜角互補，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高三理科班共有60名同學參加某次考試，從中隨機挑選出5名同學，他們的數學成績x與物理成績y如下表：
數據表明y與x之間有較強的線性關系．
（1）求y關于x的線性回歸方程；
（2）該班一名同學的數學成績為110分，利用（1）中的回歸方程，估計該同學的物理成績；
（3）本次考試中，規定數學成績達到125分為優秀，物理成績達到100分為優秀．若該班數學優秀率與物理優秀率分別為50%和60%，且除去抽走的5名同學外，剩下的同學中數學優秀但物理不優秀的同學共有5人．能否在犯錯誤概率不超過0．01的前提下認為數學優秀與物理優秀有關？
參考數據:回歸直線的系數
．
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著共享單車的成功運營，更多的共享產品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產品層出不窮.某公司隨即抽取
人對共享產品是否對日常生活有益進行了問卷調查，并對參與調查的
人中的性別以及意見進行了分類，得到的數據如下表所示：
男 | 女 | 總計 | |
認為共享產品對生活有益 |
|
|
|
認為共享產品對生活無益 |
|
|
|
總計 |
|
|
|
（1）根據表中的數據，能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下，認為對共享產品的態度與性別有關系？
（2）現按照分層抽樣從認為共享產品增多對生活無益的人員中隨機抽取
人，再從
人中隨機抽取
人贈送超市購物券作為答謝，求恰有
人是女性的概率.
參與公式： 
臨界值表：
|
|
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|
|
|
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|
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|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知點
，
，動點
滿足直線
與
的斜率之積為
.記
的軌跡為曲線
.以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
(1)求和的直角坐標方程；
(2)求上的點到距離的最小值.
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