Question

【題目】斜率為的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.

（1）設點在第一象限，過作拋物線的準線的垂線，為垂足，且，直線與直線關于直線對稱，求直線的方程；

（2）過且與垂直的直線與圓交于、兩點，若與面積之和為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設拋物線的準線與軸的交點為，利用拋物線的定義得出，求出點的坐標與直線的斜率，即可得出直線與直線的斜率互為相反數，進而可求得直線的方程；

（2）將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式計算出，求得直線的方程，計算出圓心到直線的距離，進而計算出，利用三角形的面積公式結合題中條件可求得的值.

（1）設拋物線的準線與軸的交點為，根據拋物線的定義得，則.

，，，

，，

點的坐標為，直線的斜率為.

直線與直線關于直線對稱，直線的方程為，即；

（2）設直線的方程為，與聯立得，

令，，則，，

.

，直線的方程為，即，

圓心到直線的距離為，

圓的半徑為，，

與面積之和為，

直線與圓有兩個交點，且，

令，則，由，解得或（舍去），，得.