Question

如圖，點A為圓形紙片內不同于圓心C的定點，動點M在圓周上，將紙片折起，使點M與點A重合，設折痕m交線段CM于點N．現將圓形紙片放在平面直角坐標系xoy中，設圓C：（x+1）²+y²=4a²（a＞1），A（1，0），記點N的軌跡為曲線E．
（1）證明曲線E是橢圓，并寫出當a=2時該橢圓的標準方程；
（2）設直線l過點C和橢圓E的上頂點B，點A關于直線l的對稱點為點Q，若橢圓E的離心率e∈[

1

2

，

3

2

]，求點Q的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意知NA=NM，N的軌跡是以C、A為焦點，長軸長為2a，焦距為2的橢圓．由題高級條件能求出其橢圓方程．
（2）設橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，直線l的方程為

x

-1

+

y

b

=1，設Q（x，y），由點Q與點A（1，0）關于直線l對稱，知

y x-1 •b=-1 b• x+1 2 - y 2 +b=0

，消去x，得y=

4b

b2+1

．再由e∈[

1

2

，

3

2

]可推導出點Q的縱坐標的取值范圍．

解答：解：（1）依題意：直線m為線段AM的垂直平分線，∴NA=NM，
∴NC+NA=NC+NM=2a＞2，
∴N的軌跡是以C、A為焦點，長軸長為2a，焦距為2的橢圓．
當a=2時，長軸長為2a=4，焦距為2c=2，∴b²=3．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，由（1）知：b²=a²-1，
又C（-1，0），B（0，b），
∴直線l的方程為

x

-1

+

y

b

=1，即bx-y+b=0．
設Q（x，y），∵點Q與點A（1，0）關于直線l對稱，
∴

y x-1 •b=-1 b• x+1 2 - y 2 +b=0

，消去x，得y=

4b

b2+1

．
∵e∈[

1

2

，

3

2

]，∴

1

4

≤

1

a2

≤

3

4

，
∴

4

3

≤a2≤4，∴

4

3

≤b2+1≤4，∴

3

3

≤b≤

3

．
∴y=

4b

b2+1

=

4

b+ 1 b

≤

4

2

=2，當且僅當b=1時取等號，
又當b=

3

時，y=

3

，當b=

3

3

時，y=

3

，
∴點Q的縱坐標的取值范圍是[

3

，2]．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答．