Question

如圖， 在三棱錐中，．

（1）求證：平面平面；
（2）若，，當三棱錐的體積最大時，求的長．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）利用已知條件先證明平面，然后再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息說明平面，將視為三棱錐的高，設，將底面積用表示出來，最后將三棱錐用以的代數式進行表示，并結合基本不等式求最大值；方法2：由于為直角三角形，將的面積用以為自變量的三角函數表示，最終將三棱錐的體積用三角函數進行表示，最后利用三角函數的相關方法求體積的最大值.
試題解析：（1）證明：因為，所以，．        1分
因為，所以平面．                      2分
因為平面，所以．                        3分
因為，所以．                          4分
因為，所以平面．                      5分
因為平面，所以平面平面．                  6分
（2）方法1：由已知及（1）所證可知，平面，，
所以是三棱錐的高．           7分

因為，，設，     8分
所以．    9分
因為
                              10分

                            11分
．                                 12分
當且僅當，即時等號成立．                     13分
所以當三棱錐的體積最大時，．                   14分
方法2：由已知及（1）所證可知，平面，
所以是三棱錐的高．                           7分
因為，設，                    8分
則，．                 9分
所以．               10分
所以
．                               11分
因為，
所以當，有最大值．                          12分
此時．                              13分
所以當三棱錐的體積最大時，．                   14分