Question

有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數字組成，編碼規則如下表，明文由表中每一排取一個字符組成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數字按相同次序排列組成．

第一排	明文字符	A	B	C	D
	密碼字符	11	12	13	14
第二排	明文字符	E	F	G	H
	密碼字符	21	22	23	24
第三排	明文字符	M	N	P	Q
	密碼字符	1	2	3	4

設隨機變量ξ表示密碼中不同數字的個數，
（Ⅰ）求P（ξ=2）；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列和它的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）密碼中不同數字的個數為2的事件為密碼中只有兩個數字，注意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數字作為密碼，由此可求P（ξ=2）；
（Ⅱ）取得ξ的取值，分別求出相應的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的數學期望．

解答：解：（Ⅰ）密碼中不同數字的個數為2的事件為密碼中只有兩個數字，注意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數字作為密碼，所以P（ξ=2）=

23

43

=

1

8

；
（Ⅱ）由題意可知，ξ的取值為2，3，4三種情形．
若ξ=3，注意表格的第一排總含有數字1，第二排總含有數字2則密碼中只可能取數字1，2，3或1，2，4．
∴P（ξ=3）=

2(22 A 1 3 +2 C 2 3 +1)

43

=

19

32

P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

9

32

∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
p	1 8	19 32	9 32

∴Eξ=2×

1

8

+3×

19

32

+4×

9

32

=

101

32

．

點評：本題考查概率的求解，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．