Question

已知函數f（x）=3xin（2x+

π

6

）+2．
（1）求函數的單調區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

2

]時，求函數的最值及對應x的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接利用整體思想求出函數的單調區間．
（2）根據函數的定義域求函數的值域．

解答： 解：（1）函數f（x）=3sin（2x+

π

6

）+2
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)
函數的增區間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
同理令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

求得函數的減區間為：[

π

3

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z
（2）已知x∈[-

π

6

，

π

2

]
-

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

則：-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
所以：

1

2

≤3sin(2x+

π

6

)+2≤5
當x=

π

6

時，函數區最大值為5，當x=-

π

6

時，函數取最小值為

1

2

，
即函數f（x）最大值為5，最小值為

1

2

．

點評：本題考查的知識要點：正弦型函數的單調區間的確定，利用函數的定義域求函數的值域．屬于基礎題型．