Question

【題目】已知函數，函數.

（1）若函數， 的最小值為-16，求實數的值；

（2）若函數在區間上是單調減函數，求實數的取值范圍；

（3）當時，不等式的解集為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）8或－32；（2）或；（3）

【解析】試題分析：（1）設，由，可得，化簡得， ，根據對稱軸與的關系，求出函數的最小值可得實數的值；（2）由函數的圖象知：函數的減區間為， ，則或，由此可得實數的取值范圍；（3）不等式可以化為，即，則問題轉化為當時，不等式的解集為，令（），討論函數的單調性和最小值，即可求實數的取值范圍．

試題解析：（1）設，又，則，

化簡得， ，對稱軸方程為，

當，即時，有，解得或；

當，即時，有，解得（舍）；

所以實數的值為8或－32；

（2）由函數的圖象知：函數的減區間為， ，

或 ，則或；

則實數的取值范圍為或

（3）不等式可以化為，即，

因為當時，不等式的解集為，

所以當時，不等式的解集為，

令（），則函數在區間上單調增函數，在上單調減函數，所以，所以，從而，即所求實數的取值范圍．