Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，當x∈（﹣3，2）時，f（x）＞0，當x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax2+bx+c≤0的解集為R，求c的取值范圍；
（3）當x＞﹣1時，求y= 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的兩個根為﹣3，2，

則 ，即 ，

解得a=﹣3，b=5，

∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18

（2）解：由已知得，不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集為R，

因為△=52﹣4×（﹣3）×c≤0，

∴c≤﹣ ，即c的取值范圍為（﹣∞，﹣ ]

（3）解：y= = =﹣3×（x+ ）=﹣3×[（x+1）+ ﹣1]，

因為x＞﹣1，（x+1）+ ≥2，

當且僅當x+1= ，即x=0時取等號，

∴當x=0時，ymax=﹣3

【解析】（1）由已知中函數f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，當x∈（﹣3，2）時，f（x）＞0，當x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0，可得f（x）=0的兩根為﹣3，2，由韋達定理（根與系數的關系）我們易求出a，b的值，進而得到函數的解析式；（2）由（1）的結論，根據不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集為R，可得△≤0，由此構造關于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范圍；（3）根據（1）的結論，我們易求出y= 的解析式，結合基本不等式，分析出函數的值域，即可得到其最大值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和解一元二次不等式的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．