Question

設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S．給出如下三個命題：①若m=1，則S={1}；②若m=-

1

2

，則

1

4

≤n≤1；③若n=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0．其中正確命題的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據題中條件：“當x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①m=1，得

n2≤n n≥1

，②m=-

1

2

，則

n2≤n 1 4 ≥1

對于③若n=

1

2

，則

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．

解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S知，符合定義的參數m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時，有m²∈S即m²≥m，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證n∈S時，有n²∈S即n²≤n，正對各個命題進行判斷：
對于①m=1，m²=1∈S故必有

n2≤n n≥1

可得n=1，S={1}，
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S則

n2≤n 1 4 ≤n

解之可得

1

4

≤n≤1；
對于③若n=

1

2

，則

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

解之可得-

2

2

≤m≤0，
所以正確命題有3個．
故選D

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．