Question

（2013•成都模擬）設非空集合s={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有y=x²∈S．給出如下三個命題：
①若m=1，則S={1}；
②若m=-

1

2

，則

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0．
④若l=1，則-1≤m≤0或m=1．
其中正確命題的是

①②③④

．

Answer 1

分析：由“當x∈S時，有x²∈S”可推得參數m的值一定大于等于-1，符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，通過解出不等式組對四個命題逐個進行驗證即可．

解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有y=x²∈S可知：
符合定義的參數m的值一定大于等于-1，符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
如此才能保證l∈S時，有l²∈S即l²≤l，再對各個命題進行判斷：
對于①m=1，m²=1∈S故必有

l2≤l l≥1

，可得l=1，S={1}，故正確；
②m=-

1

2

，m2=

1

4

∈S則

l2≤l l≥ 1 4

，解得

1

4

≤l≤1，故正確；
③若l=

1

2

，則

m≤ 1 2 m2≥m m2≤ 1 2

，可解得-

2

2

≤m≤0，故正確；
④若l=1，則

m≤1 m2≥m m2≤1

可解得-1≤m≤0或m=1，故正確．
故答案為：①②③④

點評：本題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．