Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為．
（I）求a，b；
（II）設(shè)過F₂的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF₁|=|BF₁|，證明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)，可由離心率為3得到參數(shù)a，b的關(guān)系，將雙曲線的方程用參數(shù)a表示出來，再由直線建立方程求出參數(shù)a即可得到雙曲線的方程；
（II）由（I）的方程求出兩焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將其與雙曲線C的方程聯(lián)立，得出x₁+x₂=，，再利用|AF₁|=|BF₁|建立關(guān)于A，B坐標(biāo)的方程，得出兩點橫坐標(biāo)的關(guān)系，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF₂|、|AB|、|BF₂|，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行判斷即可證明出結(jié)論．
解答：解：（I）由題設(shè)知=3，即=9，故b²=8a²
所以C的方程為8x²-y²=8a²
將y=2代入上式，并求得x=±，
由題設(shè)知，2=，解得a²=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F(xiàn)₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），C的方程為8x²-y²=8    ①
由題意，可設(shè)l的方程為y=k（x-3），|k|＜2代入①并化簡得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=，，于是
|AF₁|==-（3x₁+1），
|BF₁|==3x₂+1，
|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即
故=，解得，從而=-
由于|AF₂|==1-3x₁，
|BF₂|==3x₂-1，
故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16
因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數(shù)列
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合關(guān)系，考查了運算能力，題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化能力，方程的思想運用，此類題綜合性強，但解答過程有其固有規(guī)律，一般需要把直線與曲線聯(lián)立利用根系關(guān)系，解答中要注意提煉此類題解答過程中的共性，給以后解答此類題提供借鑒．