Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，點的坐標為，且橢圓上任意一點到點的最大距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點的直線與橢圓相交于，兩點，點為橢圓長軸上的一點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓的離心率可以求得，利用的最大值求出的值，即可求得橢圓的標準方程；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，為避免直線方程斜率是否存在的討論，可設直線方程為，先求，兩點間距離，再求點到直線的距離，即可求面積，因為面積由底和高兩部分構成，所以分別求出兩部分的最大值，即可求出面積的最大值.

（1）解法一：由題意可得離心率，

又，∴，，

令點為橢圓上任意一點，

則

，

∴，∴，，

∴橢圓的標準方程為.

解法二：由題意可得離心率，

又，∴，，

令橢圓上任意一點，

，

當時，，

，滿足；

當時，，

解得（負值舍去），，

則，不滿足條件，舍去，

綜上，，，

橢圓的標準方程為；

（2）設點坐標為（），

直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方

程化簡得，

令，兩點的坐標分別為，，

由韋達定理可得，，

則，

化簡得，

點到直線的距離，

的面積，

令，

則

，

當時，，

當且僅當，時等號成立，

此時，，

，

當且僅當時，取到最大值為，此時面積取到最大值，

即，此時直線的方程為，點的坐標為，

綜上，面積的最大值為.