Question

【題目】設函數.

（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點；（3）.

【解析】

試題（1）當m=e時，＞0，由此利用導數性質能求出f（x）的極小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，則h（1）=，

h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用導數性質能求出函數g（x）=f′（x）-零點的個數；（3）（理）當b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍

試題解析：（1）由題設，當時，

易得函數的定義域為

當時，，此時在上單調遞減；

當時，，此時在上單調遞增；

當時，取得極小值

的極小值為2

（2）函數

令，得

設

當時，，此時在上單調遞增；

當時，，此時在上單調遞減；

所以是的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是的最大值點，

的最大值為

又，結合y=的圖像（如圖），可知

①當時，函數無零點；

②當時，函數有且僅有一個零點；

③當時，函數有兩個零點；

④時，函數有且只有一個零點；

綜上所述，當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點.

（3）對任意恒成立，等價于恒成立

設，在上單調遞減

在恒成立

恒成立

（對，僅在時成立），的取值范圍是