Question

已知函數，，(為自然對數的底數)．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）函數在區間上恒為正數，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調減區間為，單調增區間為（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數f (x)的定義域為，

當時，

由， 由．

故的單調減區間為，單調增區間為．                               ……4分

（Ⅱ）在恒成立等價于：在恒成立，

令則，x∈,

于是在上為減函數，又在x=e處連續,

故在,

從而要使對任意的恒成立．

只要，故的最小值為．                                             ……9分

（Ⅲ）一次函數在上遞增，故函數在上的值域是．

當時，為單調遞減函數，不合題意；

當時，，

要使在不單調，只要，此時　①

故在上單調遞減，在上單調遞增．

注意到時，

∴

∴對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的使得成立，當且僅當滿足下列條件，即

令，

當時，函數單調遞增；

當時，函數單調遞減．

所以，當時有即對任意恒成立．

又由，解得……②

∴　綜合①②可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立．                                                            ……14分

考點：本小題注意考查導數的應用.

點評：導數是研究函數性質的有力工具，研究單調性、極值、最值時不要忘記先求函數的定義域，而不等式恒成立問題，一般轉化為函數的最值問題解決，分類討論時要注意分類標準要不重不漏.