Question

已知橢圓的右焦點為，為上頂點，為坐標原點，若△的面積為，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在直線，且直線的方程為．

試題分析：（1）由題意可得的兩個關系式即，解之即可得橢圓的方程；（2）先假設存在直線與橢圓交于，兩點，且橢圓的右焦點恰為的垂心．設出，坐標，由（1）中所求橢圓方程，可得，點坐標，利用點恰為的垂心，則，就可得到含，，，的等式，再設直線的方程為，代入橢圓方程，求，，，，均用含的式子表示，再代入上面所求等式中，求，若能求出，則存在直線與橢圓交于，兩點，且橢圓的右焦點恰為的垂心，若求不出，則不存在直線與橢圓交于，兩點，且橢圓的右焦點恰為的垂心．
試題解析：（1）由題意可得，解得，，故橢圓方程為．   　　
（2）假設存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，設，
因為，，故．于是設直線的方程為，
由得．
由，得， 且,．     
由題意應有，又，
故，得．
即．     
整理得．
解得或．經檢驗，當時，△不存在，故舍去．
當時，所求直線存在，且直線的方程為．