Question

【題目】如圖，E，F分別為邊長為2的正方形ABCD的邊BC，CD的中點，沿圖中虛線折起，使得B，C，D三點重合于點O，點O在平面AEF上的射影H.

（1）求證：面面OEA；

（2）求證：點H是的垂心；

（3）求OH的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）通過證明平面后，再利用面面垂直的判定定理可證；

（2）連接，延長交于，根據已知可證，同理可證，根據垂心的定義可知結論正確；

（3）利用等體積法可求得結果.

（1）因為，所以，

又，所以平面，

又平面，所以面面OEA

（2）連接，延長交于，

因為，且，

所以平面，所以，

因為是在平面AEF上的射影，所以平面，

所以，

因為，所以平面，所以，

同理可證，

所以點H是的垂心

（3）因為

=，

所以，所以.