Question

【題目】已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+an（x﹣1）n ， （其中n∈N*）
（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；
（2）試比較Sn與n3的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=1，可得 ．

對等式兩邊求導，得 ，

取x=2，則

（2）解：要比較Sn與n3的大小，即比較：3n﹣1與n2的大小，

當n=1，2時，3n﹣1＜n2； 當n=3時，3n﹣1=n2；當n=4，5時，3n﹣1＞n2．

猜想：當n≥4時，3n﹣1＞n2，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，n=4時結論成立，

假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3k﹣1＞k2，

當n=k+1時，3（k+1）﹣1=33k﹣1＞3k2．

而3k2﹣（k+1）2=2k2﹣2k﹣1=2k（k﹣1）﹣1≥2×4×3﹣1=23＞0，

∴3（k+1）﹣1＞33k﹣1＞3k2＞（k+1）2，故當n=k+1時結論也成立，

∴當n≥4時，3n﹣1＞n2成立．

綜上得，當n=1，2時， ； 當n=3時， ；當n≥4，n∈N*時，

【解析】（1）取x=1，即可求得 a0的值．對所給的等式兩邊求導，再取x=2，可得Sn的值．（2）要比較Sn與n3的大小，即比較：3n﹣1與n2的大小，當n=1，2時，3n﹣1＜n2； 當n=3時，3n﹣1=n2； 當n=4，5時，3n﹣1＞n2 ． 猜想：當n≥4時，3n﹣1＞n2 ， 再用數學歸納法證明．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．