Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，兩個焦點與短軸一個頂點構成等腰直角三角形，過點且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點．

（Ⅰ）求橢圓P的方程；

（Ⅱ）當AM與MN垂直時，求AM的長；

（Ⅲ）若過點P且平行于AM的直線交直線于點Q，求證：直線NQ恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意布列關于a，b的方程組，即可得到結果；

（2）由與垂直得,結合點在曲線上，可得M點坐標，結合兩點間距離公式可得結果；

（3）設，，由題意，設直線的方程為，利用韋達定理即可得到結果.

（1）因為，所以

因為兩個焦點與短軸一個頂點構成等腰直角三角形，

所以 ,

又 ,

所以 ，

所以橢圓方程為 .

（2）方法一：

設,

， ,

,

,

，（舍）

所以.

方法二：

設，

因為與垂直，

所以點在以為直徑的圓上，

又以為直徑的圓的圓心為，半徑為，方程為,

，

，（舍）

所以

方法三：

設直線的斜率為， ，其中

化簡得

當時，

得 ，

顯然直線存在斜率且斜率不為0.

因為與垂直，

所以 ,

得，， ,

所以

（3）直線恒過定點,

設，，

由題意，設直線的方程為，

由 得，

顯然，，則，，

因為直線與平行，所以，

則的直線方程為，

令，則，即 ,

，

直線的方程為,

令，得,

因為，故，

所以直線恒過定點.