Question

已知函數（其中）.
（1）求函數的單調區間；
（2）若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求函數的定義域與導數，對是否在定義域內以及在定義域內與進行大小比較，從而確定函數的單調區間；（2）在（1）的條件下結合函數的單調性與零點存在定理對端點值或極值的正負進行限制，從而求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）函數定義域為，
，
①當，即時，
令，得，函數的單調遞減區間為，
令，得，函數的單調遞增區間為；
②當，即時，
令，得或，函數的單調遞增區間為，，
令，得，函數的單調遞減區間為；
③當，即時，恒成立，函數的單調遞增區間為；
（2）①當時，由（1）可知，函數的單調遞減區間為，在單調遞增，
所以在上的最小值為，
由于，
要使在上有且只有一個零點，
需滿足或，解得或，
所以當或時，在上有且只有一個零點；
②當時，由（1）可知，函數在上單調遞增，
且，，
所以當時，在上有且只有一個零點；
③當時，由（1）可知，函數在內單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，所以當時，總有，
因為，
所以，
所以在區間內必有零點，
又因為在內單調遞增，
從而當時，在上有且只有一個零點，
綜上所述，當或或時，在上有且只有一個零點.