Question

如圖所示，已知二次函數y=-x²+9，矩形ABOC的頂點A在第一象限內，且A在拋物線上，頂點B、C分別在y軸、x軸上，設點A的坐標為（x，y）．
（1）試求矩形ABOC的面積S關于x的函數解析式S=S（x），并求出該函數的定義域；
（2）是否存在這樣的矩形ABOC，使它的面積為6，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵點A在第一象限內，
∴AC=y=-x²+9，AB=x（2分）
∴S=S（x）=AC•AB=-x³+9x
其定義域為：0＜x＜3．（5分）
（2）假設存在x，使得-x³+9x=6
令：g（x）=x³-9x+6
∵g（0）=6＞0且g（1）=-2＜0（8分）
∴函數g（x）在區間（0，1）內有零點，
∴存在這樣的矩形ABOC，
使它的面積為6．（10分）
分析：（1）由點A在第一象限內，知AC=y=-x²+9，AB=x，由此能求出求出該函數的定義域．
（2）假設存在x，使得-x³+9x=6，令：g（x）=x³-9x+6，由此能導出存在這樣的矩形ABOC，使它的面積為6．
點評：本題考查函數的解析式及其求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．