Question

（Ⅰ）△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證：B＜

π

2

；（提示：可以利用反證法證明）
（Ⅱ）設x＞0，y＞0，求證：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：選作題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）反證法，假設B≥

π

2

，則b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0，于是

2

b

＜

1

a

+

1

c

，與

2

b

=

1

a

+

1

c

矛盾；
（Ⅱ）利用分析法進行證明即可．

解答： 證明：（I）由題意得：

2

b

=

1

a

+

1

c

．
假設B≥

π

2

，故在△ABC中角B是最大角，
從而b＞a，b＞c，所以

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

，
于是

2

b

＜

1

a

+

1

c

，與

2

b

=

1

a

+

1

c

矛盾．
故B＜

π

2

；
（II）∵x＞0，y＞0，
∴要證明：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

，
只需證明：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即證x²y²（3x²-2xy+3y²）＞0，
只需證明3x²-2xy+3y²＞0，
∵3x²-2xy+3y²=2x²+2y²+（x-y）²＞0，
∴不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法、反證法的運用，屬于中檔題．