Question

函數f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA，（x∈R）在x=

5π

12

處取得最大值，且A∈[0，π]．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）對函數解析式化簡整理利用x=

5π

12

處取得最大值確定A的值．
（Ⅱ）利用A的值可得函數解析式，進而根據x的范圍和三角函數的性質求得函數在區間上的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A），
∵f（x）在x=

5π

12

處取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴A=-2kπ+

π

3

，k∈Z，
∵A∈[0，π]，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴（2x-

π

3

）∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值分別為

3

2

，-1

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了基礎知識的綜合運用．