Question

設f^-1（x）是函數f(x)=ln(x+

x2+1

)的反函數，則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍為

(ln(

2

+1)，+∞)

．

Answer 1

分析：根據函數f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函數，從而得出f^-1（x）也是在R上是增函數，設f^-1（a）=1，將不等式f^-1（x）＞1，轉化成f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），再利用反函數的單調求解即得．

解答：解：∵函數f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函數，
∴f^-1（x）也是在R上是增函數，
設f^-1（a）=1，則f（1）=a，∴a=ln（

2

+1），
則f^-1（x）＞1，即f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），
∴x＞ln（

2

+1．
則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍為 (ln(

2

+1)，+∞)
故答案為：(ln(

2

+1)，+∞)．

點評：本題主要考查反函數的知識點，求反函數的方法是：根據原函數的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函數的反函數，原函數的定義域即為反函數的值域，原函數的值域即為反函數的定義域．但本題沒有去求反函數，而是利用了反函數的單調性，顯得簡潔．