Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形， 是的中點，過三點的平面交于， 為的中點，求證：

（1）平面；

（2）平面；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：(1)先證明四邊形是平行四邊形，得 平面 ，進而可得結論；(2)先由面面垂直的性質可得，再證 ，由 可得 ，可得 平面 ；（3）由（2）可得 ，由等腰三角形性質得，進而由面面垂直的判定定理得結論.

試題解析：（1） 平面

平面

平面平面平面，

又因

，

是的中點， 是的中點，底面是邊長為2的菱形，

四邊形是平行四邊形，

平面

平面；

（2）側面是正三角形，且與底面垂直， 為的中點，

由余弦定理可得，由正弦定理可得：

由可得

平面；

(3) 由（2）知平面， 平面

是的中點，

平面.

平面.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.