Question

【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D中，M為DD1的中點，O為AC的中點，AB=2．

（I）求證：BD1∥平面ACM；

（Ⅱ）求證：B1O⊥平面ACM；

（Ⅲ）求三棱錐O-AB1M的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明線面平行，可先證明線線平行，連接BD,MO,根據三角形中位線的平行關系可證明;（Ⅱ）要證明線面垂直，根據判定定理，可證明線與平面內的兩條相交直線垂直，即證明和；（Ⅲ）將四面體的體積轉化為以三角形當底面，AO是四面體的高的幾何體的體積，這樣易計算四面體的體積.

試題解析：（I）證明：

連結BD，設BD與AC的交點為O，

∵AC，BD為正方形的對角線，故O為BD中點；

連結MO，

∵O，M分別為DB，DD1的中點，

∴OM∥BD1，…（2分）

∵OM平面ACM，BD1平面ACM…（3分）

∴BD1∥平面ACM． …（4分）

（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，

∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1…（6分）

OB1平面BDD1B1，∴B1O⊥AC，…（7分）

連結B1M，在△B1MO中

∴

∴B1O⊥OM…（10分）

又OM∩AC=O，∴B1O⊥平面AMC； …（11分）

．（II） V=