Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：以O為原點，以AD方向為Y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正方向，建立空間坐標系，我們易求出幾何體中各個頂點的坐標．
（I）我們易求出

AP

，

BC

的坐標，要證明AP⊥BC，即證明

AP

•

BC

=0；
（II）要求滿足條件使得二面角A-MC-β為直二面角的點M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M點的坐標，然后根據空間兩點之間的距離公式，即可求出AM的長．

解答：解：以O為原點，以AD方向為Y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正方向，建立空間坐標系，
則O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）則

AP

=（0，3，4），

BC

=（-8，0，0）
由此可得

AP

•

BC

=0
∴

AP

⊥

BC

即AP⊥BC
（II）設

PM

=λ

PA

，λ≠1，則

PM

=λ（0，-3，-4）

BM

=

BP

+

PM

=

BP

+λ

PA

=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）

AC

=（-4，5，0），

BC

=（-8，0，0）
設平面BMC的法向量

a

=（a，b，c）
則

BM • a =0 BC • a =0

-4a-(2+3λ)b+(4-4λ)c=0 -8a=0

令b=1，則

a

=（0，1，

2+3λ

4-4λ

）
平面APC的法向量

b

=（x，y，z）
則

AP • b =0 AC • b =0

即

3y+4z=0 -4x+5y=0

令x=5
則

b

=（5，4，-3）
由

a

•

b

=0
得4-3•

2+3λ

4-4λ

=0
解得λ=

2

5

故AM=3
綜上所述，存在點M符合題意，此時AM=3

點評：本題考查的知識點是線線垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，其中建立空間坐標系，求出相關向量，然后將垂直問題轉化為向量垂直即向量內積等0是解答本題的關鍵．