Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

Answer 1

解法一：（I）證明：連接OC，△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，AB=2，AC=

6

，∴AO=CO-

3

．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥AC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．
（Ⅱ）
過O作OE⊥BC于E，連接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE
∴AE⊥BC∴∠AEO為二面角A-BC-D的平角．
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，tan∠AEO=

AO

OE

=2，cos∠AEO=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

（Ⅲ）設點O到平面ACD的距離為h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴

1

3

S△ACD•h=

1

3

S△OCD•AO
在△ACD中，AD=CD=2，AC=

6

，S△ACD=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

而AO=

3

，S△OCD=

3

2

，∴h=

S△OCD

S△ACD

•AO=

15

5

∴點O到平面ACD的距離為

15

5

．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則

O(0，0，0)，A(0，0 3 ) B(0，1，0)，C( 3 ，0，0)，D(0，-1，0)

∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量

AO

=(0，0，

3

)
設平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，

AB

=(0，1，-

3

)，

BC

=(

3

，-1，0)
由

n • AB =0 n • BC =0

⇒

y- 3 z=0 3 x-y=0

⇒

n

=(1，

3

，1)
設

n

與

AO

夾角為θ，則|cosθ|=|

n • AO

| n |•| AO |

|=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

．
（Ⅲ）設平面ACD的法向量為

m

=(x，y，z)，又

DA

=(0，1，

3

)，

DC

=(

3

，1，0)

m • DA =0 m • DC

⇒

y+