Question

如圖，海上有兩個(gè)小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進(jìn)行作業(yè)，且．設(shè)。

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；
（2）晚上小艇在處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線的距離為，求BD的最大值．

Answer 1

（1）；，（2）

試題分析：（1）在和中，分別用余弦定理AC，AB，然后兩式相加即得的表達(dá)式；兩式相減即得的表達(dá)式，由和確定x的取值范圍.（2）由、和可得到關(guān)于BD的函數(shù)式，然后通過求導(dǎo)，求出BD的最大值.
試題解析：解：（1）在中，，，由余弦定理得，，
又，所以 ①，
在中，，
由余弦定理得， ②，        3分
①+②得，①②得，即，  4分
又，所以，即，
又，即，所以；     6分
（2）易知，故，    8分
又，設(shè)，所以，       9分
又則在上是增函數(shù)，
所以的最大值為，即BD的最大值為10．         12分
（利用調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說出上是增函數(shù)，但未給出證明，扣2分．）