Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 若對于任意的n∈N* ， 都有Sn=2an﹣3n．
（1）求證{an+3}是等比數列
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}的前n項和為Sn，對于任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3n．

∴令n=1，則a1=S1=2a1﹣3．解得a1=3，

又Sn+1=2an+1﹣3（n+1），Sn=2an﹣3n，

兩式相減得，

an+1=2an+1﹣2an﹣3，則an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），

又a1+3=6，

∴{an+3}是首項為6，公比為2的等比數列

（2）解：∵{an+3}是首項為6，公比為2的等比數列．

∴an+3=6×2n﹣1，∴an=6×2n﹣1﹣3

（3）解：∵an=6×2n﹣1﹣3．

∴數列{an}的前n項和：

Sn=6× ﹣3n=6×2n﹣3n﹣6

【解析】（1）令n=1，則a1=S1=2a1﹣3．求出a1=3，由Sn+1=2an+1﹣3（n+1），得Sn=2an﹣3n，兩式相減，推導出an+1+3=2（an+3），由此能證明{an+3}是首項為6，公比為2的等比數列．（2）由an+3=6×2n﹣1 ， 能求出數列{an}的通項公式．（3）由an=6×2n﹣1﹣3，能求出數列{an}的前n項和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．