Question

已知向量

m

，

n

的夾角為45°，則|

m

|=1，|

n

|=

2

，又

a

=2

m

+

n

，

b

=-3

m

+

n

．
（1）求

a

與

b

的夾角；
（2）設

c

=t

a

-

b

，

d

=2

m

-

n

，若

c

∥

d

，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）由題意求得

m

•

n

 的值，可得

a

•

b

、

a

2、

b

2 的值，再根據 cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

 的值，求得＜

a

，

b

＞的值．
（2）由條件求得

c

=（2t+3）

m

+（t-1）

n

，再利用兩個向量共線的性質求得求得t的值．

解答：解：（1）由題意可得

m

•

n

=1×

2

×cos45°=1，

a

•

b

=（2

m

+

n

）•（-3

m

+

n

）=-6

m

2-

m

•

n

+

n

2=-6-1+2=-5，

a

2=(2

m

+

n

)2=4

m

2+4

m

•

n

+

n

2=4+4+2=10，∴|

a

|=

10

．

b

2=(-3

m

+

n

)2=9

m

2-6

m

•

n

+

n

2=9-6+2=-5，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-5

10 × 5

=-

2

2

，
∴＜

a

，

b

＞=

3π

4

．
（2）由于

c

=t

a

-

b

，

d

=2

m

-

n

，則

c

=t（2

m

+

n

）-（-3

m

+

n

）=（2t+3）

m

+（t-1）

n

．
若

c

∥

d

，由于

m

 

n

不共線，利用兩個向量共線的性質可得

2t+3

2

=

t-1

-1

，
解得t=-

1

4

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量共線的性質，用數量積表示兩個兩個向量的夾角，屬于中檔題．