Question

【題目】已知拋物線C：x2=2y的焦點為F，過拋物線上一點M作拋物線C的切線l，l交y軸于點N．
（1）判斷△MFN的形狀；
（2）若A，B兩點在拋物線C上，點D（1，1）滿足 + = ，若拋物線C上存在異于A，B的點E，使得經過A，B，E三點的圓與拋物線在點E處的有相同的切線，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：拋物線C：x2=2y的焦點F（0， ），

設M（x1， ），由y= ，y′=x，

則切線l的方程y﹣ =x1（x﹣x1），則y=x1x﹣ ，

∴N（0， ），丨MF丨= + ，丨NF丨= + ，

丨MF丨=丨NF丨，

（2）

解：設A（x2， ），由 + = ，

∴D（1，1）是AB的中點，B（2﹣x2，2﹣ ），

由B在拋物線C上，則（2﹣x2）2=2（2﹣ ），

解得：x2=0，x2=2，

∴A，B兩點的坐標為（0，0），（2，2），

設E（x0， ），（x0≠0，x0≠2），

AB的中垂線方程y=﹣x+2，①AE的中垂線方程y=﹣ x+1+ ，②

由

由①②解得：圓心M（﹣ ， ），

由kMEx0=﹣1，整理得：x02﹣x0﹣2=0，

解得：x0=﹣1或x0=2，由x0≠0，x0≠2，

∴x0=﹣1，

∴E點坐標為（﹣1， ）．

【解析】（1）利用導數求得切線方程，當x=0，求得N點坐標，根據拋物線的焦半徑公式，即可求得丨MF丨=丨NF丨，則△MFN為等腰三角形；（2）根據向量的坐標運算，求得B點坐標，分別求得AE及AB的中垂線方程，即可求得△ABE外接圓的圓心，由kMEx0=﹣1，即可求得點E的坐標．