Question

【題目】已知公比不為1的等比數列{an}的前3項積為27，且2a2為3a1和a3的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式an；
（2）若數列{bn}滿足bn=bn﹣1log3an+1（n≥2，n∈N*），且b1=1，求數列{ }的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設{an}的公比為q，

則a1a2a3=a23=27，∴a2=3，∴a1= ，a3=3q，

∵2a2為3a1和a3的等差中項，

∴4a2=3a1+a3，即12= +3q，解得q=3或q=1（舍）．

∴an=3n﹣1．

（2）解：∵bn=bn﹣1log3an+1=nbn﹣1，

∴ =n，又b1=1，

∴bn= … =n!，

∴ = = = ﹣ ，

∴Sn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ = ．

【解析】（1）利用等比數列的性質列方程解出公比和a2 ， 從而得出通項an；（2）化簡遞推式可得 =n，使用累乘法得出通項bn ， 從而得出{ }的通項，利用裂項法求出Sn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．