【題目】某公園內有一塊以
為圓心半徑為
米的圓形區域.為豐富市民的業余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形
區域，其中兩個端點
，
分別在圓周上；觀眾席為梯形
內切在圓外的區域，其中
，
，且
，
在點的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過
米.設
，
.問：對于任意
，上述設計方案是否均能符合要求？
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某示范性高中的校長推薦甲、乙、丙三名學生參加某大學自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優秀兩個等級．若考核為合格，授予10分降分資格；考核為優秀， 授予20分降分資格．假設甲、乙、丙考核為優秀的概率分別為
、、
，他們考核所得的等級相互獨立．
(1)求在這次考核中，甲、乙、丙三名學生至少有一名考核為優秀的概率；
(2)記在這次考核中甲、乙、丙三名學生所得降分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產的某種零件的尺寸
大致服從正態分布
，且規定尺寸
為次品，其余的為正品．生產線上的打包機自動把每5件零件打包成1箱，然后進入銷售環節，若每銷售一件正品可獲利50元，每銷售一件次品虧損100元．現從生產線生產的零件中抽樣20箱做質量分析，作出的頻率分布直方圖如下：
（1）估計生產線生產的零件的次品率及零件的平均尺寸；
（2）從生產線上隨機取一箱零件，求這箱零件銷售后的期望利潤及不虧損的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
,不過原點的直線
與橢圓交于A、B兩點.
(1)求
面積的最大值.
(2)是否存在橢圓
,使得對于橢圓的每一條切線與橢圓
均相交,設交于A、B兩點,且
恰取最大值?若存在,求出該橢圓;若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某人在塔的正東方向上的
處在與塔垂直的水平面內沿南偏西
的方向以每小時
千米的速度步行了
分鐘以后，在點
處望見塔的底端
在東北方向上，已知沿途塔的仰角
，
的最大值為．
（1）求該人沿南偏西的方向走到仰角最大時，走了幾分鐘；
（2）求塔的高
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間（單位：分鐘）進行調查，將收集的數據分成
六組，并作出頻率分布直方圖（如圖），將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“課外體育達標”.
(1)請根據直方圖中的數據填寫下面的
列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？
（2）現按照“課外體育達標”與“課外體育不達標”進行分層抽樣，抽取8人，再從這8名學生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調查，記“課外體育不達標”的人數為
，求
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在等腰直角三角形
中，
，
，
、
分別是
，
上的點，
，
為
的中點，將
沿
折起，得到如圖2所示的四棱錐
，其中
.
(1)證明：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值；
(3)求直線
與平面
所成角的正弦值.
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