Question

【題目】已知橢圓,不過原點的直線與橢圓交于A、B兩點.

(1)求面積的最大值.

(2)是否存在橢圓,使得對于橢圓的每一條切線與橢圓均相交,設交于A、B兩點,且恰取最大值?若存在,求出該橢圓;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)若直線的斜率存在,設的方程為,代入橢圓方程得：

.

設, .則：

,，

故 .

在△OAB中,設邊AB上的高為h.則

，

固定,于是,.

由此,得對任意的,有,當且僅當時,等號成立.

若直線的斜率不存在,設直線，

則易證,當且僅當時,等號成立，

綜上,面積的最大值為.

(2)存在橢圓,該橢圓的任一切線與橢圓交于A、B兩點,且.

事實上,設滿足條件的橢圓為.過橢圓上任一點的切線方程為,

該切線與橢圓交于A、B兩點，

若,則，

由切線方程得，

由(1)知的充分必要條件是，

下面證明:若,當時,仍然成立.

此時,過橢圓上任一點的切線方程為，

設，.

，

又,于是,

.

由(1)得.

綜上,存在橢圓,使得對于橢圓的每一條切線與橢圓交于A、B兩點,且恰取最大值.