Question

求下列各曲線的標準方程．
（1）已知橢圓的兩個焦點分別是（-2，0），（2，0），并且經過點（

5

2

，-

3

2

）．
（2）已知拋物線焦點在x軸上，焦點到準線的距離為6．

Answer 1

分析：（1）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），設焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），因為橢圓經過點P（

5

2

，-

3

2

），利用橢圓的定義可得
2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）拋物線焦點在x軸上，可設標準方程為y²=±2px（p＞0）．根據焦點到準線的距離為6，可得p=6，即可得到拋物線的標準方程．

解答：解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓經過點（

5

2

，-

3

2

）．
∴2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

．
∴a=

10

．
∵c=2，∴b²=a²-c²=10-4=6．
所求橢圓的標準方程為  

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）∵拋物線焦點在x軸上，可設標準方程為y²=±2px（p＞0）．
∵焦點到準線的距離為6，∴p=6．
∴拋物線的標準方程為y²=±12x．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義、標準方程及其性質，屬于基礎題．