Question

【題目】已知函數.

（1）若在處有極值，問是否存在實數m，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.；

（2）若，設.

①求證：當時，；

②設，求證：

Answer 1

【答案】（1）存在，；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）根據微積分基本定理求得，由，求得參數；利用導數求函數的在區間上的最值，結合一次不等式在區間上恒成立問題，即可求得參數的范圍；

（2）①求得，利用導數求得的單調性，即可容易證明；

②由①中所求，可得，利用對數運算，即可證明.

由題可知，.

（1）由，可得，.

又當時，，

故在區間單調遞減，在單調遞增.

故函數在處取得極值，所以.

∵，.

∴，

當時，由上述討論可知，單調遞增，

故

不等式對任意及恒成立，

即：，

即：對恒成立，令，

，

即，且，

整理得，且，

解得：，即為所求.

（2）①∵，

當時，，在上單調遞減，

即證.

②由①可得：

令：，得，即：

=

即證.