Question

【題目】已知二次函數有兩個零點-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）寫出函數單調區間；

（3）令，若，證明：在上有唯一零點.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的單調遞減區間是,單調遞增區間是;（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據二次函數有兩個零點-3和1,設出二次函數,頂點坐標代入函數式,即可求出解析式;

（2）根據二次函數的開口方向和對稱軸,求出單調區間;

（3）由,結合,判斷在單調性,再由零點存在性原理即可得證.

（1）依題意可得拋物線的頂點坐標為,設

代入解析式得，

（2）由（1）得的對稱軸方程為,開口向上,

所以的單調遞減區間是,單調遞增區間是.

（3）,其對稱軸方程為,

所以在單調遞遞增,,

在沒有零點; 在單調遞減，且,

且拋物線開口向下,在上有唯一零點,

所以在上有唯一零點.