Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)：，（為參數(shù)），將曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后得到曲線(xiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為。

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求的值。

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程得到普通方程，經(jīng)變化后得到曲線(xiàn)：，化為極坐標(biāo)即可，利用兩角差的正弦公式可得直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，進(jìn)而可化為直角坐標(biāo)方程；（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)代入到圓的方程中，利用參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理即可得結(jié)果.

解：（1）將曲線(xiàn)：(為參數(shù))，消參得，

經(jīng)過(guò)伸縮變換后得曲線(xiàn)：，

化為極坐標(biāo)方程為，

將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，即，

化為直角坐標(biāo)方程為．

（2）由題意知在直線(xiàn)上，又直線(xiàn)的傾斜角為，

所以直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入中，得．

因?yàn)?/span>在內(nèi)，所以恒成立，

由韋達(dá)定理得

所以．